はじめてのすうがく

いろいろな本をもとに、「数学」について考えています。

四則の混じった式

乗法除法、(  )、累乗を先に計算するということを抑えても、いざ式を見ると止まる生徒が沢山いる。そんな時の板書例

4+7×(3ー5)

=4+7×(   )

=4+(  )

 

空欄を埋めていくように促す。もちろん、できな時に見なさいという指示は出す。

式を見ただけで硬直してしまう生徒でも一つ一つは、埋められる。

「やったな」という達成感だけでも得られればいいと思う。

ハードルは結構高いと思う。

 

12ー(−9+3)×5

=12ー(   )×5

=12ー(   )

=12+(   )【 =12(   )】

 

(5ー2の3乗)×(−7)

=(5ー○)×(−7)

=(   )×(ー7)

 

(−3)の2乗+49÷(−7の2乗)

=(  )+49÷(  )

=(  )+(  )

 

手が出ない、自信がない生徒にちょっとした手助けができればいい。

あれ、なんだかできそうだぞ、やってみるかと思ってくれたら、それでいいかな

ここまでが中学校で習ったもの

(ー2.3)×(+1.5)

=ー(2.3×1.5)

         異符号の積だから、マイナス  ここは中学校で習ったもの

=ー3.45

         2.3×1.5=3.45 ここは小学校で習ったもの

 

算数が苦手てでも、中学校で習ったものができれば OK

小数の計算が「苦手・できない」は、これからやっても遅くない。

 

(ー2)×(+3)=ー6が、できれば中学校の勉強はOKです。

 

 

 

負の数をかける

「マイナスをかける」は、時間を遡る

  符号と絶対値で方向性と大きさが決まっているので、第3の要素

 

元から、黒札(+)赤札(ー)をもらう【足し算】

元から、黒札(+)赤札(ー)を取られる【引き算】

 

黒札(+)赤札(ー)を3枚もらう【正の数のかけ算】

黒札(+)赤札(ー)を3枚取られる【負の数のかけ算】

 

同じように(一般的な教科書では)

  速さ✖️時間=道のり

方向性のある速さや時間を使う。負の数の時間は、遡ることになる。

つまり、戻ることになる

 

 マイナスかけるマイナスは、歯の裏の裏は表になる。(ごまかしですね)

 

除法の計算

 減法の方法と対比させて、同じ考え方(逆算)であることを強調する。

 

「別々なものを同じように見る技術」(ポアンカレ)をここでも強調する

 

回転

小問題を丸つけ

 

4人ユニットで回転

 

他人の答案だから、

慎重に、丁寧に、

自分の答案だと書いたつもりがあるけれど、

他人のなら、きちんと読めるが大切

 

間違っているところは、❌ではなく正解をかく

 

自分はできるのに、どうして間違っているか、考える

わからない人にどう教えたらいいか、考える

 

数学を(数学だけではんなく)本当に理解したかどうか知るには

説明できるかどうかでわかる

 

 

加法と減法の混じった式

8−5+6 どう計算する

 

前から順に  8+6をしてから5を引く

 

なるほど

 

(+2)+(ー5)ー(ー4) どう計算する

 

前から (ー3)ー(ー4)で引く数の符号を変えて、減法を加法に

    (ー3)+(+4)=+1

 

なるほど

 

初めに 加法だけの式ならどうだろう

   計算しやすい(嘘くさいけど、生徒にとって 見慣れている)

     初めて出てきたものを 見慣れたもの(既習事項の戻して考える)

 

(+2)+(ー5)+(+4) で どう計算する

 

同符号を先に 最後に異符号を なるほど

 

注目したのは どこ

+2 と ー5 と +4 ですね  (  )と たす+ は無くていい

 

実は この (  )と たす+ を省略できる

便利なものだから +2 と ー5 と +4 には 名前が付いている

項 という 正の項 負の項 

 

かっこを省いて 項だけの式にする  (ー2)+(ー5)ー(ー8)

たす+ と (  ) を使って表す ー4+7ー9

 

ー3+(ー6)ー(ー7) どう計算する

(ー3)+(ー6)+(+7)にするか ー3ー6+7 にするか

 

  初めて出てきたものを 見慣れたもの(既習事項の戻して考える)に

  の考えだと (  )の付いたものにする

 

けれど より 簡単なもの(書く量が少ない式の方)がミスが少なくなる

 

 ー3ー6+7 の式に慣れましょう

 

 

 

正の数・負の数の加法

(+2)+(+3)=+5

 

1回目が、右に2つ  2回目は、そこから右に3つ  結果が右に5つ

動作の繰り返し 「たす」は「続ける」 

 

 

同符号の2数の和

 符号:共通の符号 絶対値:絶対値の和

(+3)+(+7)  (ー5)+(ー8)

 =+(3+7)    =ー(5+8)

 =+10       =ー13

 

異符号の2数の和

 符号:絶対値の大きい数の符号 絶対値:絶対値の差

(-6)+(+2)  (ー8)+(+13)

 =ー(6ー2)    =+(13ー8)

 =ー4        =+5

 

 

 

 

正負の数の減法

まず、加法の確認

(+2)+(+3)=+5

 1回目が、右に2つ  2回目は、そこから右に3つ  結果が右に5つ

 

加法の逆算  

 結果がそうなるとしたら、何が入るのか?

 

 

(+2)+⬜︎=+5

  ⬜︎=(+5)ー(+2)  +5になるのに、+2から、どれだけ必要か

   =+3        (結果)になるのに、1回目から どちらにどれだけ

 

(ー3)+⬜︎=+2

 ⬜︎=(+2)ー(ー3)   +2になるのに、ー3から、どれだけ必要か

  =+5         (結果)になるのに、1回目から どちらにどれだけ

 

(+4)+⬜︎=+1

 ⬜︎=(+1)ー(+4)   +1になるのに、+4から、どれだけ必要か

  =ー3         (結果)になるのに、1回目から どちらにどれだけ

 

結果から 加法の方が計算に慣れている(ここが嘘くさい)

(+5)ー(+2)

【(+5)+(  )】 加法に直して考えると(  )に何が入る

 =+3

 

(+2)ー(ー3)

【(+2)+(  )】 加法に直して考えると(  )に何が入る

  =+5

 

(+1)ー(+4)

【(+1)+(  )】 加法に直して考えると(  )に何が入る

  =ー3

 

整理すると

(+5)ー(+2)

=(+5)+(ー2)   引く数の符号を変えて、減法を加法に直す

=+3

 

(+2)ー(ー3)

=(+2)+(+3)   引く数の符号を変えて、減法を加法に直す

=+5

 

(+1)ー(+4)

=(+1)+(ー4)   引く数の符号を変えて、減法を加法に直す

=ー3