数学して幸せを見つける

数学に取り組む事で解決の糸口を発見したり、別の見方ができるようになったり、幸せに向かう考え方を見つけよう。

連立方程式の利用 問題の構造を読み取る

『~の利用』といのが、各章の最後に出てくる。文章問題や数学独特の問題が盛り込まれている章である。文章問題は、日常の出来事を数学を使って解決したり説明するものが多い。『~の利用』に入る時、日常の問題を解く事を説明して始める。「既に、もう日常の問題を扱っている」と振り返らせると、ノートや教科書をめくり始めたり、上を向いて考えこむ生徒もいる。「ボート」の問題と「ハンバーガーとジュース」の問題を思い出す。

 導入で扱った「ボートの問題」2人乗りと1人乗りのボートに11人でのる。新情報でボートは全部で7艘だった。

 加減法の説明に使った「ハンバーガーとジュースの問題」代金が2種類の場合

 

この2つの問題で共通の事は何だろう?

 求めるものが2つ、文字が2つ、わからないものが2つ 【2元】

 イコールが2つ、数字が2つ 【連立】

連立の部分は、「等しい関係が2つある」とまとめた。

 

違いは、なんだろう?

 これは、さすがに出てこなかった。

ハンバーガーとジュースの問題」は、両方とも金額になっている。「ボートの問題」は、人数と船の数で別の種類の式になる。

 けれど、説明すると頷く生徒は結構いる。

 

同じ問題を振り返り、別の角度で見比べることで深めていく。大切だと思う。

 

数学教育の道徳側面:自分で決める。選んだ理由

連立方程式の加減法

 2x+3y=8   ➀

 3x-4y=-5  ②

 どちらも消去できる。自分で決める。

 その理由も考える。

  xを選ぶ、数が小さいから

  yを選ぶ、異符号で足し算になるから

 

 ◎自分で決める、その理由を考える。

   【人生の選択は、自分で決める。その理由も考える。】

 連立方程式と人生を一緒にするな!

 比べるレベルが違う!

  と思うかもしれない。

 

 人生の大きな決定ではないけれど、

 間違っても、やり直せる。

 より良い方法を探し、試す。

   その思考、気持ちと行動は大切だと思う。

 

数学教育の道徳側面:こっちを選ぶ気持ち(理由)を知ろう

連立方程式を解きなさい

2x+y=13…➀

x-y=5…②

➀+②でx=6…③

x=6を ➀か②のどちらに代入するか?

②が大半、①が少数派。

「理由は」の所を➀を選びたくなる気持ちを考えてみよう。教えてもらおう。

理由は、②はマイナスがあるから。➡「あ~そうね」

 

生徒との何気ないやり取りの中でも、少数派の意見や理由に耳を傾ける。

「理由」ではなく「選ぶ気持ち」という事を選ぶ。

些細なことだと思いますが、生徒の受ける印象や「人の気持ちに耳を傾ける」という言葉が数学教育の中で出てくることに意義は十分に深いと思います。

中学2年 文字式を使った説明

 中学2年の式の利用では、「文字式を使った説明」がでてくる。後半に出てくる図形の「証明」への前振りにもなる。また、文字を使った四則の完成から(文字をかける。で割る)具体的な数から、数の性質を文字で表せ、計算できるようになる。このことは、子ども達にとって(人にとってかもしれない)とても大きなジャンプといえる。

 例えば、連続する3つの数を文字式で表し、すべての場合で成り立つことを確認できる。この「すべての場合」を確認できるということを理解すること・取り込むことは思考の中では物凄いことだと感じる。

 連続する3つの数を文字を使って表す方法を知る。この時も、ただ、n、n+1、n+2と教えるのではなく、「連続する」ということはどういうことで文字を使ったらどうなるのかを考えさせたい。「知る」には、構造を飲み込む必要がある。新たな性質を見つける「連続する3つの数の和は、3の倍数になる」このことにトキメキを感じるか。これは「出会い」だろう。トキメキを感じなくとも、この性質をすべての場合で確かめる方法を得ていく。その方法が「文字の使用」となる。どんな場合でも文字を使用することで網羅できる。それは、「構造を文字式で表している」という事を理解する必要がある。

 問題文「文字式を使って説明しなさい」は、その点を理解することに主眼が置かれる。その点がすべてでもある。説明のそのもの構造は、➀文字を使って表す。②式で表し計算する。③目的の形にする。例えば、連続する3つの数を文字を使って表す。➀n、n+1、n+2 ②式にするn+(n+1)+(n+2)、計算する。3n+3 ③目的の形にする。3(n+1)3の倍数の形。

 数の性質を文字で表す。この素晴らしい発見に子どもたちを引き付けたい。

単項式 多項式 定数項

単項式 多項式 定数項 などの数式にまつわる単語がなぜあるのか?

ただの暗記になってしまったら、数学らしさを失う。

生徒とのやり取りの中で、整理や分類

 単項式や多項式のグループ分け、何次式かの基準

 具体的に式を書き連ねて、どんな基準で判断しているか見つけていく。

 その過程を、楽しみながら生徒自ら発見していく。

 発見したように、授業を展開していく。

 

この式を「単項式」と言います。この式を「多項式」といいます。

ではなく、この式を「単項式」とすると、こっちの方の式はなんと呼べばいい?

 

ひとつのルールから、様々な式の構造を発見、整理していく。

そこから、同類項、同類項がまとめられる。

 

文字式の掛算記号を省略して書くことから、

そこに矛盾が出ないように、次々に新しいルールが追加されていく。

人の思考から生まれた数学は、ひとたび動き出せば、

構築した人の手を離れ組上がっていく。

 

それを、様々な題材や場面で繰り返していく。

まさに、「思考の世界」! 

アリゴリズムにそって、正確無比の演算を行うとういうものでない

 

平面図形の基礎

平面図形の基礎

 基礎とは何を指すのか

   名前(呼び方) 定義(~を~と決める)

 

1点を通る直線は何本引けますか?

  無限と無数の話

2点を通る直線は何本引けますか?

  1本

そこで「直線はどんな線か?」

 2点A,Bの最短距離を示す、回り道をしないまっすぐな線」

そして、どこまでも伸びる直線、一部分を「線分」3つの線分に囲まれた「三角形」

角の表し方

 角AOB ∠AOB  ∠BOA(頂点が真ん中) ∠O  ∠a 

   【角の名前と大きさを表す記号】

一つの角には3つある(4つ)

 

いろいろな距離

 距離といったら「最短距離」なぜですか?

  【誰が測っても同じになるから】

点と線の距離

  垂線の長さ:最短になるから

    なぜ最短になるのかな

     両端から真ん中に進めて行くと角度がどんどん大きくなる

      ぶつかると、同じ角度になる(インチキ)180°に同じ角2つで90°

ここで、一度触れておくと接線の時に、また想起できる

円と線

  離れている。交わる(1点、2点)

1点で交わる時:接する

  中心Oと円周上の2点A、Bがあって、中心から直線を離していくと、

  ∠OABと∠OBAは等しい角で、とうとうぶつかる。180°に等しい角が2つ90°

円Aと円B(半径が等しい時)

 ここ大事、2つの円の交点をP、Qとする

  四角形PAQBはどんな四角形:ひし形  

 中心AとBを結んだABとPQはどんな関係か

  垂直に交わっている。交点で二等分される

  「そう言える根拠(理由)は、何ですか?」

    ひし形だから「2つの対角線は、互いに垂直で二等分する」

     では「なぜ、ひし形はそう言えるのか?」

       ひし形が「対称な図形」だから

この対称な図形、対称の軸がこの後、大活躍する

数学教師が1次方程式が解けなくていいと言えるか?

中学校1年生が初めて1次方程式なるものを習った時に

なかなか文字式や等式の性質を理解出ないでいる生徒がいる時

移項や分配法則を何度やっても忘れてしまう生徒に

1次方程式は解けなくていい!でも目標となる形(X=数)があって

その形を目指して、様々な方法・正しい方法や変わった方法を色々試す。

必ず目指す形になる方法が見つかる。

ということを覚えていて欲しいと伝える。

 

全員にできて欲しいと願いながらも、

全員できないたどり着けない生徒がいる。

学校という小さな社会では、その子の全てを引き出すことはできない。

論理数学的な分野がその子の中で一番苦手なことかもしれない。

数式を使わない、論理的な才能があるかもしれない。

 

大切なのは、1次方程式が解けることではなく、

解くまでのプロセスがどんなものだったか、

解くために何をしたか、

解くためにどんな工夫をしたか、

 

そこに行き着くまでの関心の向け方やテンションの上げ方を覚えていくこと