はじめてのすうがく

いろいろな本をもとに、「数学」について考えています。

数字のモノサシ

数学の授業の雑談にもってこいの本だと思う。

日常生活の中で、1234567890の数字は溢れている。

部屋の中は記号かな? 

ニュースに出てくる数字は意味はよく分からなくても説得力を感じる?

この本によると、数字には3種類しかないようだ。

①電話番号や住所のような名前のようなもの

②計算に使うもの 仕事柄使うものかな

③単位のあるもの

普段使うのは、ほとんど「単位」が付いている。

確かに、ついてないものを探す方が難しいかも?

何ページ、第何巻、12月、何カロリー

 

単位は数字のチャネルもたいなもの

りんご3は、3個、3グラム、3等分‥  単位を見て頭の中を切り替える

いろんな単位が載っていて面白い!!181oms(面白さ単位)

 

数字の話がいつの間にか、「心のモノサシ」の話に

色々な「心のモノサシ」

「心のモノサシ」の性質 (心的モノサシ理論)

  ①繰り返すたびに、感じ方が鈍くなっていく

  ②モノサシは2つ同時に使えない

  ③たくさんの情報をモノサシ1本にまとめる。同時に使えないから新しいモノサシ

  ④知れば知るほど、目盛りが細かくなる

  ⑤限界を超えると、逆にどーでもなくなる

  

数字のモノサシ

数字のモノサシ

 

 

方程式の解き方

数量関係を式で表すことのできた。

等式からXの値を求める。

天秤を実際に使って、操作を行いXの値を求める。

式化にともない、実物から紙に書いた半具体物へ、

半具体物から文字とを往復しながら、抽象化を進めていく。

 

等式の性質を使った解き方は、代入はひとつひとつ値を入れていくので大変。

代入は、確かめにはいいけれど解を求めるには効率が悪い。

効率が悪いのは、どこか?  

 0にするために足す引くので、初めから書かない。つまり、移項になる。

 Xの係数を1にするために、係数で両辺を割る。

 Xの係数の分母を整数にするために、分母をかける。

 

この「〜にするために、〜する』という小さいステップは大切になる。

 

方程式の解法で、目指すのは「X=数」である。

右辺が文字だけで、左辺が数だけになる。

それを目指した時、問題が出てくる。

両辺に文字や数あれば、それを1つにする。 → 移項する。

Xに係数がある。 → 1にしたい。 → 係数で割る。

 

人生と同じ、目標があって達成するための必要なものがある。

そのために何をするのか?

 

バスケット部員で、「バスケが上手くなりたい」

そのためには、技術と体力をつけたい。

そのために、練習する、走る。

 

数学は思考の世界、思考の習慣を身につけさせるのも数学教育の一つと考える。

数学教育の道徳的側面 道徳的価値

 数学教育に道徳側面を見出そうとする私の動機は、「なぜ数学を学ぶのか」(本ブログ)の2つ目の目的、陶冶目的(数学教育を通して人を育てること)から出てきたものです。そして、その道徳的側面を考える上で、道徳的価値をトーマス・リコナー著「こころの教育論」(慶應義塾大学出版会)の道徳的二大価値概念「尊重」と「責任」 を根拠にしています。

 尊重とはある人、またはあるものの持っている価値への思いやりを示すことを意味しています。それは3つの形式をとります。①自己を尊重すること、②他の人を尊重すること、そして③生命のあらゆる様態を維持することを尊重することです。

 自己を尊重することとは、自分の生活と個である自分自身を固有の価値を持つものとみることです。他の人を尊重することとは、他のすべての人間を、たとえ彼らが自分の好まない人々であっても、自分自身と同じ尊厳と権利を持つものとしてみるよう求めることになります。生命全体の複雑な組織を尊重するとことは、あらゆる生命体が依存している壊れやすい生態系に思いやりのある行為を求めることになるのです。

 責任という価値概念は尊重の延長線上にあります。人は他人を尊重していれば、その人を高く評価していることになります。人を高く評価していれば、人はその人の幸福実現にある程度の責任を感じます。責任とは、他の人に注意を払うこと、他人のニーズに積極的に対応していくことです。責任という価値概念はお互い同士思いやる積極的な義務を強調します。

 これに比べて、尊重という価値概念は、否定的な義務を強調します。それは多くの場合、すべきでないことを告げます。「してはならない」という道徳の目録だけでは十分ではありません。責任倫理というものは、道徳の能動的な授与的側面をもたらしてくれるからです。ここでは、尊重という価値概念が「傷つけてはならない」と言うところで、責任という価値概念が「援助の手を指し延べなさい」と言います。「他人のことを考えなさい」という叫びが無制限にあっても、「どのくらい」「どの程度」「いつまで」という問いには答えてくれません。しかし、責任という道徳は正しい方向に人々を向かわせます。それはどんな仕方であれ、長い期間をかけて、お互いを育て合い、支え合い、苦悩を軽減し合い、この世界を全ての人にとっての良い場とするよう求めているのです。責任とは依存し合うことであって。他の人を見捨てることでありません。人は関わり合うことによって他の人を援助します。そして、そのようにしない時に、他の人に問題を抱かせてします。責任とは、持っている能力を最大限発揮し、家庭、学校、職場のいずれにあっても仕事や義務を遂行することです。

 尊重と責任の他に何があるでしょう。例えば、誠実、公正、寛容、分別、自己訓練、、援助、同情、協力、勇気など多くの価値概念があります。その中でも、授業という場におけるものに取り上げてましょう。公正とは、人を隔たりなく扱うことを求めます。寛容は、自分たちとは異なる信条の人びとに対する公正な客観的態度です。自己訓練(個性の伸長、向上心)は、自分にとって善であるものを追求する、つまり健全な楽しみを適度に追求すように人びとに語ってくれます。援助は、親切にしてあげることに喜びをもたらしてくれます。同情は、人々に責任の意味を知らせてくれるのみならず、それを感じさせてもくれます。協力は、人びとが人間生存の基盤となる目標に向かって共に働かなければならないということを、理解させてくれます。

 

数学教育の道徳的側面 語録

数学教育に道徳側面を感じるのは、「なぜ数学を学ぶのか」(本ブログ)の2つ目の目的、陶冶目的(数学教育を通して人を育てること)から得る。

 

友達に教えてあげる:

相手がどこがわからないか、どこで躓いているか、見極める。

どのように教えたらいいか、相手にわかりやすく伝えられるか考える。

数学に対する理解を深めるとともに、数学を介してコミュニケーションの力を鍛える。

つまり、自分のため「教える」「教える」相手のためではない。

 

① 違ったやり方でも、正しければ同じ答えに行き着く。

② より良い方法を見つける。簡単な方法、ミスを少なくできる方法を考える。

③ 1つのものを様々な考えでみる。

④ 高い:低い  損失と利益  右と左  生と死  楽しいとつまらない 

⑤ 3つになったら、自分中心ではなく、他の2つの事も考えないいけないね 

⑥ 一つの約束を守るために、次々に新しいルールがつけ加わる

⑦ 先ずは、自分で考える。わからない点をはっきりせる。そして、人に聴く。

 

① 様々な計算でも、答えは同じ

② 分配法則、分配法則の逆

③ 文字を使った式 考え方で色々な式ができる

④ 反対の性質を持つもの 正負の数

⑤ 3つの数の大小関係 問題のままだと不等号の向きがバラバラ

⑥ 文字式 掛け算記号を省く

   数を文字の前に書く、アルファベット順

   始めの1は省く、文字は累乗は指数を使って書く

   割り算記号は使わない(分数の形)これも掛け算記号を省くにつなげる

   3分のaと3分の1aの違いと同質

⑦ ワークやドリルなどの演習の時

 

第1回配信 2017年7月15日土曜日

文字の表し方

『文字と数の乗法の記号 ✖︎ を省く』という文字式の表し方の約束

 

どうして省くのですか? 難しくなる!

 

省けるものを省いて、式を短く簡単にする為に

数字同士の+、ー、✖︎、➗を省くと、1つの数になってしまう。

文字と数の掛け算だから省ける

 

そして、ここから全ての約束が生まれる。全てが上手くいくように、

ルール①『文字と数の乗法の記号 ✖︎ を省く』

 

3✖︎a=3a

a✖︎3=a3    どちらが良いでしょうか? 同じ意味なら1つの表し方が便利

 

(ー2)✖︎a=−2a

a✖︎(−2)=a−2   こうなると、数字を文字の前に書かないと引き算になる

 

ルール②『数を文字の前に書く』

 

同じ意味なら1つの表記

 

1✖a=1a=a

   1aとaとではどっちが便利ときいたら

     1に何をかけても変わらないから a だけでいい

生徒から出てくるものですね

 

ルール③『文字の前の1は省く』

 

例題

 ① amのリボン2本を文字式で表すと

     式 a+a

 ② 2mのリボンa本を文字式で表すと

     式 2✖a

2本なら足せる、a本はa回足すはできないから掛ける。

 

こどもはすごい!

①だと足し算だよね! 掛け算でなくてもいいものね。強引にa✖2にすることないね

②だね!掛け算の必要性を感じるのは

 

この違いを「すべての子供に」伝えられたら最高だね!

 

 

 

 

 

 

 

1✖︎a=1a=a 1aではなく

文字式の表し方

マッチ棒を正方形の形に繋げていく。正方形がa個の時、マッチ棒は何本必要か?

 

 ① 1+3×a   ② 4+3×(a-1)    ③ 4×aー(aー1)

 

① 始めの1本に3本ずつ増える

② 始めの正方形に3本ずつ増えるけど始めの1個を引く

③ 正方形は4本で重なっている間の本数を引く

 

ここまでは、文字を使った式の導入

言葉の式の「言葉」を「文字(記号アルファベット)」で表す。

何個になってもいい、どんどん増えていく。

 

次に、「文字式の表し方の約束」にはいる。

 

その前に

3つの式は、考え方は違っても同じマッチの本数。

同じ図(図貼り付けられないまだブログの未熟者だから)から考えたからね!

 

では、図を消して

問い「3つの式が同じであることを確かめる方法は?」

 

文字に数を入れて計算

 

もう一息、文字に数を入れて計算して答えが同じになればいい。

 

他に

 

ヒント:これから習うことだけれど、習ったことを使う

考えてみよう 一番簡単な式はどれ

① どうして かっこがないから

 

式を簡単にして比べてみよう

②  4+3×(a-1) をどうする 

分配法則を使って、かっこをはずす

「文字を使うのは初めてでも、1つ1つかけるのは同じ」

 4+3×a-3

 =1+3×a  ①と同じになりました。

 

③ はチャレンジかな?

 

 4×aー(aー1)     ー(aー1)をどうする

 =4×aーa+1      ワークで ー(ー4)=(ー1)×(ー4)でした

              でも、難しいところだよね

 =3×a+1        4×aーa=3×a これはわからないよね

              だって、これからやるところだからね

  でも、1と同じになったね 加法の交換法則

 

式を簡単に表すと便利だね!

ユニット

4人1組になって、ワークや課題プリントの勉強

 4人1組をユニット呼んでいる。国語の先生の受け売り

 

ユニットになっても、まず、一人でやる

 わからないところをユニットできく、教える。

 わからない、できないところのはっきりさせられるから、自分から聞ける。

 

  生徒にも、教えることが偉いことでも面倒なことでもないことを強調する。

  わかりやすく説明することで、数学を深く理解する。

  相手に合わせた言葉や説明を考えることで、洞察力や良い話し方が身につく。

 

 

 「聞く、教える」というコミュニケーションを「数学」を通して行う。

 

T・Tの時に、この時間を設定できたらいいかなと思う。

  個別対応があからさまにならない。

  教えている生徒を褒められる。

  T・Tの先生も、一斉授業ではないのでドンドン個別に教えられる。