数学して幸せを見つける

数学に取り組む事で解決の糸口を発見したり、別の見方ができるようになったり、幸せに向かう考え方を見つけよう。

連立方程式 求めるものをすぐ文字にしない。

速さの問題

 苦手な生徒が多い。そこで、一言

「苦手な人が多い、見ただけで止めてしまう人がいる。そこがチャンス、そこで出来たら勝ち、勝ちは言い過ぎだけれど差は出ます。人が苦手な所、嫌がるところに挑戦するのがチャンス」

「速さの問題はチャンス。速さと言えば何が出てくる。」

道のりと速さ、時間 出てくるのもは決まっている。その関係も分かっている。

速さ×時間は道のり。

「表を書いて、空欄を埋めていく。穴埋めは、君たち得意だろう。自分で穴埋め問題にすればいい。」

縦軸が道のりと速さ、時間。横軸が時間の流れや位置関係、そして合計。

さあ穴埋めだ。速さの合計はない。

 

「道のりを求めるのに時間を文字にして解きなさい」どうしてこんな問題があるだろう。理由を考えよう。

 

式を両方立てて、比べる。式が簡単(分数が少ない)

直接答えがわかる。式が簡単だけれど、最後に求めるものを計算して出す。

 

「どっちがいい」

どっちでもいい、その人の好み。

「そ、好みですね」

連立方程式の文章問題 等しい関係を2つ見つけるコツ

 等しい関係を見つけるコツ

2つの連立方程式の問題を比べて、共通な事を見つけて構造を知る

mathpsychology.hatenablog.com

前回の続きで、

求めるものは2つあり、それを文字で表す。

等しい関係を2つ見つけて、2元1次方程式を立てる。

この等しい関係を見つけられない生徒がいる。

コツは、文章にある数字を拾い出し、「関係を表す数は」と問いかける。

値段や速さは、個別の数で関係を表していない。

合計や差になる数を確認して、式にする。

1個120円のケーキと1個200円のプリン。全部で12個買って、2000円になる。

120 200 値段

12 2000 合計の数

  ~=12

  ~=2000  左辺の式を求める。

 

連立方程式が解けなくても、文章の構造と式化(モデル化)できれば、十分!

「解けてほしいけれど、解けなくても式ができれば十分」というと、数学が苦手な生徒でも数人やり始める時がある。挑戦してくれるきっかけになればOKである。

 

       

 

 

 

連立方程式の利用 問題の構造を読み取る

『~の利用』といのが、各章の最後に出てくる。文章問題や数学独特の問題が盛り込まれている章である。文章問題は、日常の出来事を数学を使って解決したり説明するものが多い。『~の利用』に入る時、日常の問題を解く事を説明して始める。「既に、もう日常の問題を扱っている」と振り返らせると、ノートや教科書をめくり始めたり、上を向いて考えこむ生徒もいる。「ボート」の問題と「ハンバーガーとジュース」の問題を思い出す。

 導入で扱った「ボートの問題」2人乗りと1人乗りのボートに11人でのる。新情報でボートは全部で7艘だった。

 加減法の説明に使った「ハンバーガーとジュースの問題」代金が2種類の場合

 

この2つの問題で共通の事は何だろう?

 求めるものが2つ、文字が2つ、わからないものが2つ 【2元】

 イコールが2つ、数字が2つ 【連立】

連立の部分は、「等しい関係が2つある」とまとめた。

 

違いは、なんだろう?

 これは、さすがに出てこなかった。

ハンバーガーとジュースの問題」は、両方とも金額になっている。「ボートの問題」は、人数と船の数で別の種類の式になる。

 けれど、説明すると頷く生徒は結構いる。

 

同じ問題を振り返り、別の角度で見比べることで深めていく。大切だと思う。

 

数学教育の道徳側面:自分で決める。選んだ理由

連立方程式の加減法

 2x+3y=8   ➀

 3x-4y=-5  ②

 どちらも消去できる。自分で決める。

 その理由も考える。

  xを選ぶ、数が小さいから

  yを選ぶ、異符号で足し算になるから

 

 ◎自分で決める、その理由を考える。

   【人生の選択は、自分で決める。その理由も考える。】

 連立方程式と人生を一緒にするな!

 比べるレベルが違う!

  と思うかもしれない。

 

 人生の大きな決定ではないけれど、

 間違っても、やり直せる。

 より良い方法を探し、試す。

   その思考、気持ちと行動は大切だと思う。

 

数学教育の道徳側面:こっちを選ぶ気持ち(理由)を知ろう

連立方程式を解きなさい

2x+y=13…➀

x-y=5…②

➀+②でx=6…③

x=6を ➀か②のどちらに代入するか?

②が大半、①が少数派。

「理由は」の所を➀を選びたくなる気持ちを考えてみよう。教えてもらおう。

理由は、②はマイナスがあるから。➡「あ~そうね」

 

生徒との何気ないやり取りの中でも、少数派の意見や理由に耳を傾ける。

「理由」ではなく「選ぶ気持ち」という事を選ぶ。

些細なことだと思いますが、生徒の受ける印象や「人の気持ちに耳を傾ける」という言葉が数学教育の中で出てくることに意義は十分に深いと思います。

中学2年 文字式を使った説明

 中学2年の式の利用では、「文字式を使った説明」がでてくる。後半に出てくる図形の「証明」への前振りにもなる。また、文字を使った四則の完成から(文字をかける。で割る)具体的な数から、数の性質を文字で表せ、計算できるようになる。このことは、子ども達にとって(人にとってかもしれない)とても大きなジャンプといえる。

 例えば、連続する3つの数を文字式で表し、すべての場合で成り立つことを確認できる。この「すべての場合」を確認できるということを理解すること・取り込むことは思考の中では物凄いことだと感じる。

 連続する3つの数を文字を使って表す方法を知る。この時も、ただ、n、n+1、n+2と教えるのではなく、「連続する」ということはどういうことで文字を使ったらどうなるのかを考えさせたい。「知る」には、構造を飲み込む必要がある。新たな性質を見つける「連続する3つの数の和は、3の倍数になる」このことにトキメキを感じるか。これは「出会い」だろう。トキメキを感じなくとも、この性質をすべての場合で確かめる方法を得ていく。その方法が「文字の使用」となる。どんな場合でも文字を使用することで網羅できる。それは、「構造を文字式で表している」という事を理解する必要がある。

 問題文「文字式を使って説明しなさい」は、その点を理解することに主眼が置かれる。その点がすべてでもある。説明のそのもの構造は、➀文字を使って表す。②式で表し計算する。③目的の形にする。例えば、連続する3つの数を文字を使って表す。➀n、n+1、n+2 ②式にするn+(n+1)+(n+2)、計算する。3n+3 ③目的の形にする。3(n+1)3の倍数の形。

 数の性質を文字で表す。この素晴らしい発見に子どもたちを引き付けたい。

単項式 多項式 定数項

単項式 多項式 定数項 などの数式にまつわる単語がなぜあるのか?

ただの暗記になってしまったら、数学らしさを失う。

生徒とのやり取りの中で、整理や分類

 単項式や多項式のグループ分け、何次式かの基準

 具体的に式を書き連ねて、どんな基準で判断しているか見つけていく。

 その過程を、楽しみながら生徒自ら発見していく。

 発見したように、授業を展開していく。

 

この式を「単項式」と言います。この式を「多項式」といいます。

ではなく、この式を「単項式」とすると、こっちの方の式はなんと呼べばいい?

 

ひとつのルールから、様々な式の構造を発見、整理していく。

そこから、同類項、同類項がまとめられる。

 

文字式の掛算記号を省略して書くことから、

そこに矛盾が出ないように、次々に新しいルールが追加されていく。

人の思考から生まれた数学は、ひとたび動き出せば、

構築した人の手を離れ組上がっていく。

 

それを、様々な題材や場面で繰り返していく。

まさに、「思考の世界」! 

アリゴリズムにそって、正確無比の演算を行うとういうものでない